Question

【题目】已知函数，直线：.

（Ⅰ）设是图象上一点，为原点，直线的斜率，若 在 上存在极值，求的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数，使得直线是曲线的切线？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.

Answer 1

【答案】，（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）先根据斜率公式列再求导数及其零点，最后根据条件列不等式，解得结果，（Ⅱ）设切点，根据导数几何意义得斜率，再根据点斜式得切线方程，最后根据切线过（0，-1）点列方程，解得切点坐标，即得的值；（Ⅲ）先变量分离，转化为研究函数图象，利用导数研究其单调性，再结合函数图象确定交点个数.

（Ⅰ）∵，∴，解得.

由题意得： ，解得.

（Ⅱ）假设存在实数，使得直线是曲线的切线，令切点，

∴切线的斜率.

∴切线的方程为，

又∵切线过（0，-1）点，

∴.

解得，∴，

∴.

（Ⅲ）由题意，令， 得 .

令， ∴，由，解得.

∴在（0,1）上单调递增，在上单调递减，

∴,又时，；时，，

时，只有一个交点；时，有两个交点；

时，没有交点.