Question

【题目】已知,设,且,记;

（1）设,其中,试求的单调区间;

（2）试判断弦的斜率与的大小关系,并证明;

（3）证明：当时,.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见证明；（3）见证明

【解析】

（1）（），对其求导，讨论的范围即可判断的单调区间；（2），,二者作差，，令，构造函数，通过求导可判断的单调性，从而可得到，即可判断；（3）当时，原不等式等价于，由（2）知，即证，转化为，构造函数，通过求导可判断它的单调性进而得到，从而证明了结论。

（1）（），

若，则，是上的增函数，

若，则的增区间为，减区间为.

（2），,

则，

令，则，

令，，

而，则在单调递增，且恒为正，

又因为，所以，即.

（3）当时，原不等式等价于，由（2）知，即证，转化为.

令，，

令，则，

当时，，故在上单调递增，

则，故在上单调递增，

则，故时，成立，即当时,.