Question

【题目】已知函数 是奇函数.

（1）求实数的值；

（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；

（3）当时，函数的值域是，求实数与的值

Answer 1

【答案】1解：（1）由已知条件得

对定义域中的均成立.………………………………1分

即

对定义域中的均成立.

即（舍去）或. …………………………………4分

（2）由（1）得

设，

当时，

. ………………………………6分

当时，，即.

当时，在上是减函数. ………………………………8分

同理当时，在上是增函数. ………………………10分

（3）函数的定义域为，

①， .

在为增函数，

要使值域为，

则（无解）

②， .

在为减函数,

要使的值域为, 则

，. ……………………………14分

【解析】

试题

(1)由奇函数的性质得到关于实数m的方程，解方程可得m=-1；

(2)结合(1)的结论首先确定函数的解析式，结合对数函数的性质可知当a>1时,f(x)在(1,+∞)上单调递减； 当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上单调递增；

(3)结合奇函数的性质和(2)中确定的函数的单调性得到关于实数a,n的方程组，分类讨论求解方程组可得.

试题解析：

（1）由为奇函数，则对定义域任意恒有即 （舍去1）

(2)由（1）得，当时，

当时，现证明如下：

设，

(3)由题意知定义域上的奇函数。

①当即时，由(2)知在(n,a-2)上f(x)为增函数，

由值域为(1,+∞)得无解；

②当(n,a-2)(1,+∞)即1≤n<a-2有a/span>>3，

由（2）知在(n,a-2)上f(x)为减函数，

由值域为得