Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），有一内接直角三角形，直角顶点在坐标原点，一直角边所在直线方程为y=2x，斜边长等于4

13

，求抛物线的方程．

Answer 1

分析：不妨设已知直角三角形为OAB，直线OA的方程为y=2x，由题意可知OA⊥OB，从而有K_OB=-

1

kOA

，则可求直线OB的方程，联立方程可求A的坐标，进而可求AO，同理可求OB，由勾股定理可得，AB²=OA²+OB²，代入可求P，进而可求抛物线的方程．

解答：解：如图，设A（

y 2 A

2p

，y_A），B（

y 2 B

2p

，y_B），根据题意得：

yA= y 2 A p ，① p 2 × y 2 B 2p +pyB=0，② (xA-xB)2+(yA-yB)2=208，③

由①可得y_A=p，则x_A=

p

2

，由②可得y_B=-4p，
∴B点坐标为（8p，-4p），
由③得p=

8

5

，
因此所求抛物线方程为y²=

16

5

x．

点评：本题主要考察了直线与抛物线的相交关系及方程的根与系数的关系的应用，解题中的关键是由直线的垂直关系得到直线OB的斜率．