Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设出直线的方程与抛物线方程联立消去y，设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A，B，进而根据判别是对大于0，及x₁+x₂的和x₁x₂的表达式，求得AB的长度的表达式，根据|AB|的范围确定a的范围
（2）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为（x₃，y₃），则由中点坐标公式求得x₃的坐标，进而求得QM的长度．根据△MNQ为等腰直角三角形，求得QN的长度，进而表示出△NAB的面积，根据|AB|范围确定三角形面积的最大值．

解答：解：（1）直线l的方程为y=x-a
将y=x-a代入y²=2px，
得x²-2（a+p）x+a²=0．
设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则

4(a+p)2-4a2＞0 x1+x2=2(a+p) x1x2=a2

又y₁=x₁-a，y₂=x₂-a，
∴| AB |=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8p(p+2a)

.
∵0＜|AB|≤2p，8p（p+2a）＞0，
∴0＜

8p(p+2a)

≤2p．
解得-

p

2

＜a≤-

p

4

．
（2）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为（x₃，y₃），则由中点坐标公式，得x3=

x1+x2

2

=a+p，y3=

y1+y2

2

=

(x1-a)+(x2-a)

2

=p．
∴|QM|²=（a+p-a）²+（p-0）²=2p²，
又△MNQ为等腰直角三角形，
∴|QN|=|QM|=

2

p
∴S△NAB=

1

2

|AB|•|QN|=

2

2

p|AB|≤

2

2

p•2p=

2

p2，
即△NAB面积最大值为

2

p2．

点评：本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力．