Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是抛物线上的两点．求证：直线AB经过点M的充要条件是OA⊥OB，其中O是坐标原点．

Answer 1

分析：（1）若AB过M点，设直线AB：x-2p=my，与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得结论；
（2）若OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n，与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得结论．

解答：证明：（1）若AB过M点，设直线AB：x-2p=my．  
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x=my+2p y2=2px

，可得y²-2pmy-4p²=0
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

(y1y2)2

4p2

+y₁y₂=

16p4

4p2

-4p2=0，
∴OA⊥OB
（2）若OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n．
由

x=my+n y2=2px

，可得y²-2pmy-2pn=0
∵

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

(y1y2)2

4p2

+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，
∴n=2p，
即直线AB：x=my+2p过定点（2p，0）．
∴直线AB经过点M的充要条件是OA⊥OB

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．