Question

16．设S_n为等差数列{a_n}的前n项的和a₁=1，$\frac{{{S_{2017}}}}{2017}-\frac{{{S_{2015}}}}{2015}=1$，则数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前2017项和为（　　）

• A． $\frac{2017}{1009}$
• B． $\frac{2017}{2018}$
• C． $\frac{1}{2017}$
• D． $\frac{1}{2018}$

Answer 1

分析 利用等差数列的性质，等差数列的通项公式以及前n项和公式，求得数列用裂项法进行求和{a_n}的通项公式、前n项公式，可得数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的通项公式，进而用裂项法求得它的前2017项和．

解答 解：S_n为等差数列{a_n}的前n项的和a₁=1，设公差为d，
∵$\frac{{{S_{2017}}}}{2017}-\frac{{{S_{2015}}}}{2015}=1$=$\frac{201{7a}_{1}+\frac{2017•2016}{2}d}{2017}$-$\frac{201{5a}_{1}+\frac{2015•2014}{2}d}{2015}$=a₁+1008d-（a₁+1007d）=d，
∴a_n=a₁+（n-1）d=n，S_n=n•1+$\frac{n（n-1）}{2}$•1=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
则数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前2017项和为2[1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$）=2（1-$\frac{1}{2018}$）=$\frac{2017}{1009}$，
故选：A．

点评 本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式以及前n项和公式，用裂项法进行求和，属于中档题．