Question

已知函数.
(1)当时,求的单调区间；
(2)若函数在上无零点,求的最小值。

Answer 1

(1) 的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，).
(2函数在上无零点，则的最小值为.

试题分析：(1)当时, ()，则.    2分
由得；由得.                4分
故的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，).        5分
(2)要使函数在上无零点,只要对任意,无解.
即对，无解.       7分
令，，则，  9分
再令，，则.  11分
故在为减函数，于是，
从而，于是在上为增函数，
所以，                 13分
故要使无解，只要.
综上可知，若函数在上无零点，则的最小值为.   14分
点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。采用“表解法”，更加清晰明了。涉及函数零点的讨论问题，往往要转化成研究函数图象的大致形态，明确图象与x轴交点情况。本题涉及对数函数，要注意函数的定义域。