Question

已知函数.
（1）判断奇偶性, 并求出函数的单调区间；
（2）若函数有零点，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）是偶函数，的单调增区间是,;单调减区间是,,
（2）

试题分析：解(1) 定义域在数轴上关于原点对称,
且,所以是偶函数        2分
当时, ,   
由 , , 解得:  所以在是增函数;
由 , , 解得: .所以在是减函数.    4分
因为是偶函数, 图象关于轴对称，所以, 当时, 在是减函数, 在是增函数.
所以, 的单调增区间是,;单调减区间是,,.   6分
(2) 由,得 ,
令                           8分
当时,  ,当, , 在是增函数;
当, , 在是减函数,
所以, 当时,极小值是             11分
因为是奇函数,所以, 当时, 极大值是
所以 ,
即, 函数有零点.            14分
点评：主要是考查了运用导数来判定函数单调性以及函数零点的综合运用，属于中档题。