Question

【题目】已知函数，其中.

（I）讨论函数的单调性；

（II）若，证明：对任意 ，总有.

Answer 1

【答案】（I）①若，在，上单调递增，在上单调递减，②若时，在上单调递增，③若时，在，上单调递增，在上单调递减；（II）证明见解析．

【解析】试题分析：（I）先求函数导数，再求导函数零点或，根据两个零点大小分三种情况讨论：若，在，上单调递增，在上单调递减.若时，则在上单调递增.若时，则在，上单调递增，在上单调递减.（II）同（1）可得：当时，在上单调递增，因此将所证不等式变量分离得 ，构造函数，只需利用导数证明函数单调递减

试题解析：解：（I）∵，，

令，得或

①若，则时，；

时，；

时，，

故函数在，上单调递增，在上单调递减

②若时，则在上单调递增

③若时，则在，上单调递增，在上单调递减

（II）由（I）可知，当时，在上单调递增，不妨设，则有，，于是要证，即证，

即证，

令，

∵，

∵，，

∴在上单调递减，即有.

故.