Question

7．若函数f（x）=ax³-bx+4．当x=2时，函数f（x）取得极值$-\frac{4}{3}$．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[-3，3]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用函数的极值点，以及函数的极值，求出a，b，即可得到函数的解析式．
（2）求出函数的极值点，判断函数的单调性，求出极值与端点的函数值，即可得到函数的最值．

解答 （8分）解：（1）f′（x）=3ax²-b，由题知：f′（2）=0且$f（2）=-\frac{4}{3}$，
则代入有：f′（2）=12a-b=0且$f（2）=8a-2b+4=-\frac{4}{3}$．
解得$a=\frac{1}{3}，b=4$，
则函数解析式为：$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$．（3分）
（2）由（1）知：f′（x）=x²-4，令f′（x）=0解得x=2或x=-2
当x∈（-3，-2）时，f′（x）＞0，则f（x）在（-3，-2）上单调递增．
当x∈（-2，2）时，f′（x）＜0，则f（x）在（-2，2）上单调递减．
当x∈（2，3）时，f′（x）＞0，则f（x）在（2，3）上单调递增．
则f（x）在x=-2处取极大值，在x=2处取极小值．
又∵f（-3）=7，f（3）=1，$f（-2）=\frac{28}{3}$，$f（2）=-\frac{4}{3}$，
∴则f（x）在[-3，3]上的最大值为$\frac{28}{3}$，最小值为$-\frac{4}{3}$．（8分）．

点评 本题考查函数的导数以及函数的极值，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．