Question

【题目】已知函数f（x）＝x＋，且此函数的图象过点（1，5）．

（1）求实数m的值并判断f（x）的奇偶性；

（2）判断函数f（x）在[2，＋∞）上的单调性，证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）m＝4，奇函数；（2）f（x）在[2，＋∞）上单调递增，证明见解析．

【解析】

试题（1）函数图象过点（1，5）将此点代入函数关系式求出m的值即可，因为函数定义域关于原点对称，需要判断函数是否满足关系式或者．满足前者为偶函数，满足后者为奇函数，否则不具有奇偶性．此题也可以将看做与两个函数的和，由的奇偶性判断出的奇偶性．（2）利用函数单调性的定义式：区间上的时，的正负来确定函数在区间上的单调性．

试题解析：（1）（1）∵f（x）过点（1，5），

∴1＋m＝5m＝4．

对于f（x）＝x＋，∵x≠0，

∴f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．

∴f（－x）＝－x＋＝－f（x）．

∴f（x）为奇函数．

另解：，，定义域均与定义域相同，因为为奇函数，因此可以得出也为奇函数．

（2）证明：设x1，x2∈[2，＋∞）且x1<x2，

则f（x1）－f（x2）＝x1＋－x2－＝（x1－x2）＋＝．

∵x1，x2∈[2，＋∞）且x1<x2，

∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2>0．

∴f（x1）－f（x2）<0．

∴f（x）在[2，＋∞）上单调递增．