Question

【题目】已知函数，.

（1）若有零点，求的取值范围；

（2）讨论的根的情况.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）作出函数和的图象，利用数形结合思想得出当两个函数有交点时，求出实数的取值范围；

（2）作出函数和在上的图象，根据两函数图象的顶点的高低得出方程的根的个数.

（1）作出函数和的图象如下图所示，

由于双勾函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，函数在处取得最小值，即，

由图象可知，当时，直线与函数的图象有交点.

因此，实数的取值范围是；

（2）二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，

则该函数在上单调递增，在上单调递减，所以，.

作出函数和在上的图象如下图所示：

由图象可知，当时，两个函数没有交点，方程在无实根；

当时，两个函数只有一个交点，方程在只有一根；

当时，两个函数有两个交点，方程在有两实根.

综上所述，当时，方程无实根；当时，方程只有一根；当时，方程有两根.