题目内容
11．设x，y，z均为正实数，且xyz=1，求证：$\frac{1}{{x}^{3}y}$+$\frac{1}{{y}^{3}z}$+$\frac{1}{{z}^{3}x}$≥xy+yz+zx．分析 x，y，z均为正实数，且xyz=1，可得$\frac{1}{{x}^{3}y}$+$\frac{1}{{y}^{3}z}$+$\frac{1}{{z}^{3}x}$=$\frac{z}{{x}^{2}}$+$\frac{x}{{y}^{2}}$+$\frac{y}{{x}^{2}}$，利用柯西不等式，即可证明结论．
解答 证明：∵x，y，z均为正实数，且xyz=1，
∴$\frac{1}{{x}^{3}y}$+$\frac{1}{{y}^{3}z}$+$\frac{1}{{z}^{3}x}$=$\frac{z}{{x}^{2}}$+$\frac{x}{{y}^{2}}$+$\frac{y}{{x}^{2}}$，
∴由柯西不等式可得（$\frac{z}{{x}^{2}}$+$\frac{x}{{y}^{2}}$+$\frac{y}{{x}^{2}}$）（xy+yz+zx）
≥（$\frac{\sqrt{xyz}}{x}$+$\frac{\sqrt{xyz}}{y}$+$\frac{\sqrt{xyz}}{x}$）2=（$\frac{xyz}{x}$+$\frac{xyz}{y}$+$\frac{xyz}{z}$）2=（xy+yz+zx）2．
∴$\frac{1}{{x}^{3}y}$+$\frac{1}{{y}^{3}z}$+$\frac{1}{{z}^{3}x}$≥xy+yz+zx．
点评 本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，正确变形是关键．
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19．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且$a=2，b=\sqrt{2}，A=\frac{π}{4}$，则角B=（ ）
| A． | $\frac{5π}{6}$或 $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{5π}{6}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{6}$ |
16．直线ax-y+$\sqrt{2}$a=0（a≥0）与圆x2+y2=9的位置关系是（ ）
| A． | 相交 | B． | 相切 | C． | 相离 | D． | 相切或相离 |