Question

3．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点恰是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的一个焦点，过点T（p，0）且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求线段|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点恰是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的一个焦点，即$\frac{p}{2}=1，p=2$，即可；
（2）由直线L的倾斜角求得斜率，由点斜式得到直线L的方程，和抛物线方程联立后利用根与系数关系得到A，B的横坐标的和，代入抛物线的弦长公式得答案．

解答 解：（1）∵抛物线y²=2px（p＞0）的焦点恰是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的一个焦点，∴$\frac{p}{2}=1，p=2$，
∴抛物线的方程为：y²=4x．
（2））∵直线L倾斜角为60°，∴其斜率为tan60°=$\sqrt{3}$，又抛物线的焦点坐标为T（1，0），
则直线L的方程为：y-0=$\sqrt{3}$（x-1））．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得3x²-10x+3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，∴|AB|=${x}_{1}+{x}_{2}+p=\frac{10}{3}+2=\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了抛物线的定义和方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立方程组，化为关于x的方程后利用一元二次方程根与系数的关系解决，是中档题．