Question

18．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，P是C上的点，PF₁⊥PF₂，∠PF₁F₂=60⁰，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 2-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据题意，作出椭圆的图形，分析可得△PF₁F₂为直角三角形，且∠PF₁F₂=60°，则有|PF₁|=c，|PF₂|=$\sqrt{3}$c，由椭圆的性质计算可得2a与c的关系，由椭圆的离心率的公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，如图，F₁，F₂为椭圆C的两个焦点，
则|F₁F₂|=2c，
又由PF₁⊥PF₂，∠PF₁F₂=60°，
则△PF₁F₂为直角三角形，且∠PF₁F₂=60°，
则有|PF₁|=c，|PF₂|=$\sqrt{3}$c，
则有2a=|PF₁|+|PF₂|=（$\sqrt{3}$+1）c，
即a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$c，
则椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1；
故选：B．

点评 本题考查椭圆的几何性质，注意借助直角三角形的性质分析a、c的关系．