题目内容
【题目】农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为________；该六面体内有一球，则该球体积的最大值为________．
【答案】
【解析】
求出一个正三角形的面积乘以6即为所求六面体的表面积；取该六面体的一半记为正四面体
，取BC中点为D，连接SD，AD，作
平面ABC，垂足O在AD上，当六面体内的球体积最大时球心为O且该球与SD相切，过球心作
，则OE就是球半径，求出OE代入球体体积计算公式即可得解.
一个正三角形面积为
，该六面体是由六个边长为2的正三角形构成的，所以面积为；
该六面体也可看成由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为2，如图，在棱长为2的正四面体中，取BC中点为D，连接SD，AD，作平面ABC，垂足O在AD上，则
，
，
，
当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心作，则OE就是球半径，
因为
，所以球半径
，
所以该球体积的最大值为：
.
故答案为：；
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