Question

直线l的参数方程为

x=-3+t y= 3 t

（t为参数）．圆C的参数方程为

x=3cosθ y=3sinθ

（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为

 

．

Answer 1

考点：直线的参数方程,圆的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：先将直线与圆的方程化为普通方程并写出直线的斜率k，联立两方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，设此方程的两根为x₁，x₂，由韦达定理得x₁+x₂和x₁•x₂，再利用弦长公式|AB|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1•x2

可达到目的．

解答： 解：由直线l的参数方程

x=-3+t y= 3 t

，消去t，即得普通方程为y=

3

(x+3)，…①
设直线l的斜率为k，则k=

3

．
由圆C的参数方程

x=3cosθ y=3sinθ

，消去θ，即得普通方程为x²+y²=9，…②
联立①、②式，消去y，整理得2x²+9x+9=0．
又设l与C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
则由韦达定理，得

x1+x2=- 9 2 x1•x2= 9 2

，
由弦长公式|AB|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1•x2

，
得|AB|=

( 3 )2+1

•

(- 9 2 )2-4× 9 2

=3．
故答案为：3．

点评：1．本题考查了直线与圆的参数方程，相交弦问题等．参数方程化普通方程的关键是消参，一般消参方式有：两式相加、减，相乘、除，两边同时平方，代入法等；弦长的求解一般是利用弦长公式，常结合韦达定理处理，注意“设而不求”思想的运用．
2．本解答使用的是代数法，事实上，也可以用几何法，即根据圆心到直线的距离d，圆的半径r，弦长的一半

|AB|

2

满足勾股定理，可求得|AB|的值．