Question

12．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，设向量$\vec m$=（b，c-a），$\vec n$=（b-c，c+a），若$\vec m⊥\vec n$，则角A的大小为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 利用向量垂直的性质推导出b²+c²-a²=-bc，由此利用余弦定理能求出角A的大小．

解答 解：∵在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，
向量$\vec m$=（b，c-a），$\vec n$=（b-c，c+a），$\vec m⊥\vec n$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=b（b-c）+（c-a）（c+a）=b²+bc+c²-a²=0，
∴b²+c²-a²=-bc，
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-bc}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直、余弦定理的合理运用．