Question

11．已知（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展开式中，前三项的系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中含x项的系数．

Answer 1

分析 （1）利用二项展开式的通项公式求出通项，再根据等差数列的性质即可求出n的值，
（2）令x的指数为1时求出r，即得到x项的系数．

解答 解：（1）展开式的通项为（$\frac{1}{2}$）^rC_n^rx${\;}^{\frac{2n-3r}{4}}$
所以前三项的系数分别是1，$\frac{1}{2}$C_n¹，$\frac{1}{4}$C_n²，
据题意得1+$\frac{1}{4}$C_n²=2×$\frac{1}{2}$C_n¹，
整理得n²-9n+8=0
解得n=8，或n=1（舍去）
（2）展开式的通项为T_r+1=（$\frac{1}{2}$）^rC₈^rx${\;}^{\frac{16-3r}{4}}$，
令$\frac{16-3r}{4}$=1，解得r=4，
所以展开式中含x项的系数（$\frac{1}{2}$）⁴C₈⁴=$\frac{35}{8}$．

点评 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．