Question

3．设函数f（x）=x³-3ax+b．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，求a，b的值．
（2）在（1）的条件下求函数f（x）的单调区间与极值点．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义，可得关于a，b的方程组，解出即可；
（2）首先求f′（x）=0的自变量的值，然后判断导数为0的点的两侧的导数是不是变号，根据导数的符号得到函数的单调区间以及极值点．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=0}\\{f（2）=8}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{3（4-a）=0}\\{8-6a+b=8}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=24}\end{array}\right.$；
（2）∵f′（x）=3x²-12，
由f′（x）=0，解得：x=±2，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜2，
故f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，2）递减，在（2，+∞）递增；
∴此时x=-2是f（x）的极大值点，x=2是f（x）的极小值点．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．