Question

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
（1）若a=2$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$，且△ABC的面积S=2$\sqrt{3}$，求b，c的值；
（2）若sin（C-B）=sin2B-sinA，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据△ABC的面积S和余弦定理，组成方程组求出b、c的值；
（2）由题意，利用三角形的内角和定理与三角恒等变换公式，
化简求值，得出$△\\;ABC$ABC的形状．

解答 解：（Ⅰ）由题意知：a=2$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积S=2$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$，
可得：bc=8；…?①
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
代入化简得：（b+c）²=36，
∴b+c=6；…②
  连立①②得：b=2，c=4或b=4，c=2；…6分
（2）由题意知：sin（C-B）=sin2B-sinA，
∴sin（C+B）+sin（C-B）=sin2B，
化简得：sinCcosB=sinBcosB，
∴cosB=0或sinC=sinB； 
 又A，B∈（0，π），
 所以B=$\frac{π}{2}$ 或C=B；
 即$△\\;ABC$ABC为直角三角形或等腰三角形．…12分

点评 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是中档题．