Question

已知数列中，，对于，以为系数的一元二次方程

  都有实数根，且满足.

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；        （Ⅲ）求的前项和.

Answer 1

（Ⅰ） 解：∵，∴，又∵，∴，

∴，

∴椭圆的标准方程为．                   

（Ⅱ）证：当的斜率为0时，显然，满足题意，

当的斜率不为0时，设方程为，

代入椭圆方程整理得：．

，，．

则

            ，

而

∴，从而．

综合可知：对于任意的割线，恒有．

（Ⅲ）解：，

即：，

当且仅当，即（此时适合于的条件）取到等号．

∴△ABF面积的最大值是．