Question

给出下列命题（1）存在实数α，使得sinα•cosα=1；
（2）存在实数α，使得sinα+cosα=

3

2

；
（3）x=

π

8

是函数y=sin（2x+

5π

4

）的一条对称轴；
（4）α，β是第一象限角，若α＜β，则sinα＜sinβ；
（5）若α，β∈（

π

2

，π），且tanα＜cotβ，则α+β＜

3π

2

．
以上命题正确的是

 

．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：分别对四个命题分析，利用三角函数的有界性以及单调性解答．

解答： 解：对于①，sinα•cosα=1变形为sin2α=2＞1错误；
对于②，sinα+cosα=

3

2

，变形为sin（α+

π

4

）=

3 2

4

＜1，所以存在实数α，使其成立；正确；
对于③，将x=

π

8

代入函数解析式得y=sin （2×

π

8

+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，所以正确；
对于（4），例如α=

π

6

，β=

13

6

π，都是第一象限的角，但是sinα=sinβ，所以错误；
对于（5），：∵α、β∈（

π

2

，π），
∴-π＜-β＜-

π

2

，

π

2

＜

3π

2

-β＜π，
又cotβ=tan（

π

2

-β）=tan（

3π

2

-β），tanα＜cotβ，
∴tanα＜tan（

3π

2

-β），α、

3π

2

-β∈（

π

2

，π），又y=tanx在（

π

2

，π）上单调递增，
∴α＜

3π

2

-β，即α+β＜

3π

2

．所以正确；
故答案为：（3）（5）．

点评：本题考查利用倍角公式、诱导公式等对三角函数变形，考查三角函数单调性以及有界性等性质．