Question

12．已知数列${a_1}=\frac{1}{3}$、${a_1}=\frac{1}{3}$满足：${a_1}=\frac{1}{3}$，a_n+b_n=1，${b_{n+1}}=\frac{1}{{2-{b_n}}}$．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{b}_{n}-1}$}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

分析 （1）进行变形得到$\frac{1}{{b}_{n+1}-1}$=-1+$\frac{1}{{b}_{n}-1}$，故{$\frac{1}{{b}_{n}-1}$}是等差数列，
（2）并求出其通项，进而可求出数列{a_n}的通项公式；
（3）根据（2）结果，然后利用裂项相消法求S_n，

解答 解：（1）证明：∵${b_{n+1}}=\frac{1}{{2-{b_n}}}$，
∴b_n+1-1=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$-1，
∴$\frac{1}{{b}_{n+1}-1}$=$\frac{2-{b}_{n}}{{b}_{n}-1}$=-1+$\frac{1}{{b}_{n}-1}$，
∵${a_1}=\frac{1}{3}$，a_n+b_n=1，
∴b₁=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{{b}_{1}-1}$=-3，
∴{$\frac{1}{{b}_{n}-1}$}是以-3为首项，-1为公差的等差数列；
（2）由（1）可得$\frac{1}{{b}_{n}-1}$=-3-（n-1）=-n-2，
∴b_n=1-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n+1}{n+2}$，
∵a_n+b_n=1，
∴a_n=1-b_n=1-（1-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{n+2}$，
∴a_na_n+1=$\frac{1}{（n+2）（n+3）}$=$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1=（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$）=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{n}{3n+9}$．

点评 本题考查根据数列的递推公式利用构造法求数列的通项公式，及数列的求和问题，属于中档题