Question

20．已知函数f（x）=2^x+2^ax+b且$f（1）=\frac{5}{2}$，$f（2）=\frac{17}{4}$
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）判断并证明f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）试判断f（x）在（-∞，0）上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代值计算，根据指数幂的运算性质，解得即可，
（Ⅱ）利用函数奇偶性求解即可，对于奇偶性的判断，只须考虑f（-x）与f（x）的关系即得；
（Ⅲ）单调性的定义对于单调性的证明，先在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，再比较f（x₁）-f（x₂）即可；

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2^x+2^ax+b且$f（1）=\frac{5}{2}$，$f（2）=\frac{17}{4}$，
∴2+2^a+b=$\frac{5}{2}$，且2²+2^2a+b=$\frac{17}{4}$，
即a+b=-1且2a+b=-2，
解得a=-1，b=0，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2^x+2^-x，
∴f（-x）=2^x+2^-x=f（x），
∴f（x）为偶函数，
（Ⅲ）定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=${2}^{{x}_{1}}$+${2}^{-{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{-{x}_{1}}$
=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）+（${2}^{-{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）+$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）（$\frac{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}}$）
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．