Question

5．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsinA=（$\sqrt{2}$b-c）sinB．
（1）求证：$\sqrt{2}$a，b，$\sqrt{2}$c成等差数列；
（2）若sinC=5sinA，求cosB．

Answer 1

分析 （1）由已知等式结合正弦定理可证$\sqrt{2}$a，b，$\sqrt{2}$c成等差数列；
（2）由sinC=5sinA，得c=5a，结合（1）可得$b=3\sqrt{2}a$，代入余弦定理得答案．

解答 （1）证明：由bsinA=（$\sqrt{2}$b-c）sinB，结合正弦定理得，
ab=（$\sqrt{2}b-c$）b，
∴a=$\sqrt{2}b-c$，即a+c=$\sqrt{2}b$，也就是$\sqrt{2}a+\sqrt{2}c=2b$，
∴$\sqrt{2}$a，b，$\sqrt{2}$c成等差数列；
（2）解：∵sinC=5sinA，∴c=5a，
∵a+c=$\sqrt{2}b$，∴$b=3\sqrt{2}a$，
∴$cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{26{a}^{2}-18{a}^{2}}{10{a}^{2}}=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查等差数列的性质，考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．