Question

7．已知函数f（x）=sinx，若当x∈[-$\frac{7π}{6}$，-$\frac{π}{3}$]时，m≤f（x）≤n恒成立，则n-m的最小值是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$

Answer 1

分析 由正弦函数的性质，分段求得函数的值域，结合m≤f（x）≤n得到m，n的范围，从而可求出n-m的最小值．

解答 解：函数f（x）=sinx在x∈[-$\frac{7π}{6}$，$-\frac{π}{2}$]上为减函数，在[$-\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{3}$]上为增函数，
∴当x∈[-$\frac{7π}{6}$，$-\frac{π}{2}$]时，f（x）∈[-1，$\frac{1}{2}$]；当x∈[$-\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{3}$]时，f（x）∈[-1，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
∴当x∈[-$\frac{7π}{6}$，-$\frac{π}{3}$]时，函数的值域为[-1，$\frac{1}{2}$]．
∵当x∈[-$\frac{7π}{6}$，-$\frac{π}{3}$]时，m≤f（x）≤n恒成立，
∴m≤-1，n≥$\frac{1}{2}$．
则n-m的最小值是$\frac{1}{2}-（-1）=\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的最值，考查了正弦函数的性质，是基础题．