Question

16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\frac{a+b}{sin（A+B）}$=$\frac{a-c}{sinA-sinB}$．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）如果b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理和余弦定理即可求出B的大小；
（Ⅱ）当b=2时，由（1）的结论可得a²+c²-4=ac，利用基本不等式可求出ac≤4，再根据三角形的面积公式即可求出最大值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，A+B=π-C，
∴$\frac{a+b}{sin（A+B）}$=$\frac{a-c}{sinA-sinB}$⇒$\frac{a+b}{c}$=$\frac{a-c}{a-b}$，
∴a²-b²=ac-c²，
∴a²+c²-b²=ac，
由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵b=2，
∴a²+c²-4=ac，
∴2ac-4≤ac，
∴ac≤4，当且仅当a=c=2时取等号，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤$\sqrt{3}$，
∴△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．