题目内容
17．给出下列四个命题：①函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点；
②要得到函数y=sinx的图象，只需将函数$y=cos（x-\frac{π}{3}）$的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位；
③若m≥-1，则函数$y={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-2x-m）$的值城为R；
④“a=1”是“函数f（x）=$\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；
⑤已知{an}为等差数列，若$\frac{{{a_{11}}}}{{{a_{10}}}}$＜-1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n=20．
其中正确命题的序号是①③④．
分析 根据函数零点的判定定理可得①正确；要得到此函数的图象，只需将函数y=$cos（x-\frac{π}{3}）$的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，故②错误；根据对数的真数可取遍所有的正实数，可得此对数函数的值域为R，故③正确；根据a=1时，函数在定义域上是奇函数，再根据函数f（x）=$\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$在定义域上是奇函数时，a=±1，可得④正确；由Sn有最大值，得d＜0，进一步得到S20＜0，故⑤错误；
解答 解：对于①函数f（x）=lnx-2+x，在区间（1，e）上单调递增，f（1）=-1，f（e）=e-1＞0，根据函数零点的判定定理可得在区间（1，e）上存在零点，故①正确．
对于②函数y=sinx化为y=cos（x-$\frac{π}{2}$），要得到此函数的图象，只需将函数y=$cos（x-\frac{π}{3}）$的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到y=$cos（x-\frac{π}{6}-\frac{π}{3}）$=cos（x-$\frac{π}{2}$）=sinx，故②错误；
对于③当 m≥-1，函数$y={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-2x-m）$的真数为 x2-2x-m，判别式△=4+4m≥0，故真数可取遍所有的正实数，故函数$y={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-2x-m）$的值域为R，故③正确．
对于④函数f（x）=$\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$在定义域上是奇函数，则$f（-x）=\frac{a-{e}^{-x}}{1+a{e}^{-x}}=\frac{a{e}^{x}-1}{{e}^{x}+a}$=$-f（x）=-\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$，即解得a=±1，故④正确；
对于⑤Sn有最大值，∴d＜0，$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1＜0，于是a11＜0，a10＞0，∴S19=19a10＞0，于是a11＜-a10，即a11+a10＜0，于是S20=10（a11+a10）＜0，于是所求n=19，故⑤错误；
∴正确命题的序号是：①③④．
故答案为：①③④．
点评 本题主要考查命题的真假的判断，考查了函数零点的判定定理，对数不等式和等差数列的前n项和以及函数的奇偶性和三角函数的图象，属于中档题．
| A． | -1或-3 | B． | 5或-3 | C． | 1或-3 | D． | -1或5 |
| A． | 5+$2\sqrt{2}$ | B． | $8\sqrt{2}$ | C． | 5 | D． | 9 |