Question

【题目】在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线，直线.

（1）将曲线上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线，请写出直线，和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线经过点且， 与曲线交于点，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ， ；(2)2.

【解析】试题分析：（1）利用极坐标和直角坐标的关系可得直角坐标方程为，根据伸缩变化法则可得的方程为；（2）写出直线的参数方程为，联立直线和曲线，根据参数的几何意义结合韦达定理可得结果.

试题解析：(1)因为，所以的直角坐标方程为；

设曲线上任一点坐标为，则，所以，

代入方程得： ，所以的方程为.

(2)直线： 倾斜角为，由题意可知，

直线的参数方程为（为参数），

联立直线和曲线的方程得， .设方程的两根为，则，由直线参数的几何意义可知， .