Question

【题目】已知函数，其中.

（1）设，讨论的单调性；

（2）若函数在内存在零点，求的范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）的取值范围是.

【解析】试题分析：（1）求导可以得到，分三种情况讨论导数的符号.（2）计算可以得到，其导数为，我们需要讨论的符号，故需再构建新函数，其导数为，结合原函数的形式和的形式，我们发现当时恒成立；当时， 在上有极小值点 ，结合可知 在上有零点；当时， 恒成立，结合可知， 在上也是恒成立的，故而在上递增恒成立.

解析：（1）定义域

故 则

若，则 在 上单调递减；

若，则 .

（i） 当 时，则 ，因此在 上恒有 ，即 在 上单调递减；

（ii）当时， ，因而在上有，在上有 ；因此 在 上单调递减，在单调递增.

（2）设 ,

，设，

则 .

先证明一个命题：当时， .令， ，故在上是减函数，从而当时， ，故命题成立.

若 ,由 可知， .，故 ，对任意都成立，故 在上无零点，因此.

（ii）当，考察函数 ，由于 在 上必存在零点.设在 的第一个零点为，则当时， ，故 在 上为减函数，又 ，

所以当 时， ，从而 在 上单调递减，故在 上恒有 。即 ，注意到 ，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意.

（iii）若，则由 可知， 恒成立，从而 在 上单调递增，也即 在上单调递增，因此，即在 上单调递增，从而恒成立，故方程 在 上无解.

综上可知， 的取值范围是 .