Question

【题目】已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4.

（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；

（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的倍(＞1)，过点C(1,0)的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) 或.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)根据直线过的定点可得，又b=2，可得，从而可得椭圆的方程．(Ⅱ)由题意设椭圆C2的方程为，结合条件可得点C(1,0)在椭圆C2内部，又直线l的斜率存在，故设其方程为y=k(x+1) (k≠0)，A(x1,y1), B(x2,y2)，将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据二次方程的两根之和及可得，又由题意可得，然后利用基本不等式求得△OAB面积的最值，并由此可得直线方程．

试题解析：

(Ⅰ)由题意，直线方程即为，

所以直线过定点，故椭圆的焦点为．

又由题意可知b=2，

∴a2=c2+b2=9．

∴椭圆C1的标准方程为．

(Ⅱ)由题意设椭圆C2的方程为，

∵＞1，

∴点C(1, 0)在椭圆内部，故直线l与椭圆必有两个不同的交点．

由题意得直线l的斜率不存在时不和题意，从而得直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为y=k(x+1) (k≠0)，

由消去x整理得

．

设A(x1,y1), B(x2,y2)，

则．

∵，且点C(1, 0)，

∴(1x1, y1)=2(x2+1, y2)，

∴y1= 2y2，

∴y1+y2= y2 ，故．

∴

，

当且仅当，即k=±时等号成立．

∴△OAB面积的最大值为，此时直线l的方程为或．