Question

【题目】在数列中，若是整数，且（，且）.

（Ⅰ）若， ，写出的值；

（Ⅱ）若在数列的前2018项中，奇数的个数为，求得最大值；

（Ⅲ）若数列中， 是奇数， ，证明：对任意， 不是4的倍数.

Answer 1

【答案】(1) ， ， .(2) 前2018项中奇数的个数的最大值是1346.(3)详见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）将， 代入递推关系求解的值即可；

（Ⅱ）讨论都是偶数时， 都是奇数时， 是奇数， 是偶数时， 是偶数， 是奇数时四种情况即可得解；

（Ⅲ）由是奇数，分析得前4项没有4的倍数，假设存在最小正整数，使得是4的倍数，则均为奇数，所以一定是偶数，结合递推关系即可推出矛盾，进而得证.

试题解析：

（Ⅰ），

，

.

所以， ， .

（Ⅱ）（i）当都是偶数时， 是偶数，代入得到是偶数；

因为是偶数，代入得到是偶数；

如此下去，可得到数列中项的奇偶情况是偶，偶，偶，偶，…

所以前2018项中共有0个奇数.

（ii）当都是奇数时， 是奇数，代入得到是偶数；

因为是偶数，代入得到是奇数；

因为是偶数，代入得到是奇数；

如此下去，可得到数列中项的奇偶情况是奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，…

所以前2018项中共有1346个奇数.

（iii）当是奇数， 是偶数时，

理由同（ii），可得数列中项的奇偶情况是奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，…

所以前2018项中共有1345个奇数.

（iv）当是偶数， 是奇数时，

理由同（ii），可得数列中项的奇偶情况是偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，…

所以前2018项中共有1345个奇数.

综上所述，前2018项中奇数的个数的最大值是1346.

（Ⅲ）证明：因为是奇数，

所以由（Ⅱ）知， 不可能都是偶数，只能是偶奇奇，奇偶奇，奇奇偶三种情况.

因为是奇数，且，所以也是奇数.

所以为偶数，且不是4的倍数.

因为，

所以前4项没有4的倍数，

假设存在最小正整数，使得是4的倍数，

则均为奇数，所以一定是偶数，

由于，且，

将这两个式子作和，可得.

因为是4的倍数，所以也是4的倍数，

与是最小正整数使得是4的倍数矛盾.

所以假设不成立，即对任意， 不是4的倍数.