Question

【题目】已知函数，其中k∈R.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当k∈[1，2]时，求函数在[0，k]上的最大值的表达式，并求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析过程；（2），，.

【解析】

（1）求出，分别讨论，，时正负情况即可；

（2）判断函数在[0，k]上单调性，求出，再利用导数求最值即可.

（1），

当时，令得，令得，故的单调递增区间为的单调递减区间为

当时，令得，或，

当时，当时或；当时；的单调递增区间为；减区间为.

当时，当时；当时；的单调递增区间为；

（2）当时，由（1）知，的单调递增区间为为；减区间为.

令，，

故在上单调递减，故，

所以当[0，k]时函数单调减区间为，单调增区间为；

故函数

由于

对于，，即，当时等号成立，

故.

当时由（1）知；的单调递增区间为；所以当[0，k]时函数单调递增，故.

综上所述：函数在[0，k]上的最大值为，

，由于，

∴对恒成立

∴在上为增函数.

∴.