Question

【题目】设函数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若存在满足，证明成立.

Answer 1

【答案】（1）当时， 在上单调递增没有极值；当时，在上单调递增，在上单调递减，极小值为；（2）证明见解析.

【解析】

（1）对函数进行求导得，分为和两种情形判别导数与0的关系即可得结果；

（2）先得出，结合（1）知，设，构造函数，通过导数判断出的单调性，可得出，结合（1）中的单调性即可得出结果.

（1）由得

当时，从而得在上单调递增没有极值；

当时，得；

得；得；

在上单调递增，在上单调递减，

此时有极小值，无极大值.

（2）由得：，从而得

由(1)知当时，从而得在上单调递增，所以此时不成立

可知此时，由于的极小值点为，可设

设

，仅当时取得“”

所以在为单调递增函数且

当，时有，即

又由，所以

又由(1)知在上单调递减，且，

所以从而得证成立.