Question

【题目】抛物线，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，.

（1）证明：直线过定点；

（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的面积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）或

【解析】

（1）设点，，，利用导数求出切线的斜率，再利用斜率公式求出切线的斜率，进而求出直线的方程，从而可证明直线过定点；

（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理，求出点坐标，借助向量垂直的坐标运算，求得或，进而求得圆的面积.

（1）设，，则，

由，

所以，所以切线的斜率为，

故，整理得，

设，同理可得，

所以直线的方程为，

所以直线恒过定点.

（2）由（1）得直线的方程为，

由，得，

，，

设为线段的中点，则，

由于，而，

与向量平行，所以，

解得或，

当时，圆半径，所以圆的面积为，

当时，圆半径，所以圆的面积为.

所以，该圆的面积为或.