Question

若数列{a_n}满足：a₁=

2

3

，a_n+1-a_n=

2 3 (an+1+an)

，求数列的通项公式a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由首项和数列递推式求出a₂，把递推式两边平方，取n=n+1得另一递推式，作差后得到新的等差数列
{a_n+1-a_n}，求出其通项公式利用累加法求数列的通项公式a_n．

解答： 解：取n=1，得a2-a1=

2 3 (a2+a1)

，
又a₁=

2

3

，
解得：a₂=2．
由a_n+1-a_n=

2 3 (an+1+an)

，得
(an+1-an)2=

2

3

(an+1+an)  ①
则(an+2-an+1)2=

2

3

(an+2+an+1)  ②
②-①得：(an+2-an)(an+2-2an+1+an)=

2

3

(an+2-an)，
由a_n+1-a_n=

2 3 (an+1+an)

知数列是递增数列，
∴a_n+2-a_n≠0，
∴an+2-2an+1+an=

2

3

，
即(an+2-an+1)-(an+1-an)=

2

3

．
∴数列{a_n+1-a_n}是以a2-a1=2-

2

3

=

4

3

为首项，以

2

3

为公差的等差数列．
则an+1-an=

4

3

+

2

3

(n-1)=

2

3

(n+1)．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=

2

3

[n+(n-1)+(n-2)+…+2+1]=

2

3

•

(n+1)n

2

=

n(n+1)

3

．

点评：本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了利用累加法求数列的通项公式，是中档题．