Question

8．求函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$的单调区间．判断在各单调区间上函数的单凋性．并证明你的判断．

Answer 1

分析 利用导函数的性质研究其函数的单调性即可．

解答 解：函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
则f′（x）=$\frac{{x}^{2}+1-x×2x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$．
令f′（x）=0，则x=±1．
当x＞1或x＜-1时，f′（x）＜0，即f（x）在（1，+∞）和（∞，-1）是单调减函数．
即单调减区间为（1，+∞）和（∞，-1）．
当-1＜x＜1时，f′（x）＞0，即f（x）在（-1，1）是单调增函数．
即单调增区间为（-1，1）．

点评 本题考查了利用导函数的性质求解原函数的单调性．