已知数列{an}满足an=nkn(n∈N*.0＜k＜1).下面命题:①当k=$\frac{1}{2}$时.数列{an}为递减数列,②当$\frac{1}{2}$＜k＜1时.数列{an}不一定有最大项,③当0＜k＜$\frac{1}{2}$时.数列{an}为递减数列,④当$\frac{k}{1-k}$为正整数时.数列{an}必有两项相等的最大项．其中正确命题的序号是③④� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知数列{a_n}满足a_n=nkⁿ（n∈N^*，0＜k＜1），下面命题：
①当k=$\frac{1}{2}$时，数列{a_n}为递减数列；
②当$\frac{1}{2}$＜k＜1时，数列{a_n}不一定有最大项；
③当0＜k＜$\frac{1}{2}$时，数列{a_n}为递减数列；
④当$\frac{k}{1-k}$为正整数时，数列{a_n}必有两项相等的最大项．
其中正确命题的序号是③④．

分析 ①当$k=\frac{1}{2}$时，作差a_n-a_n+1═$\frac{n-1}{2}$$（\frac{1}{2}）^{n}$≥0，n=1时取等号，a₁=a₂，即可判断出单调性．
②当$\frac{1}{2}＜k＜1$时，作商$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$，由于$\frac{1}{2}＜k$＜$\frac{（n+1）k}{n}$＜1+$\frac{1}{n}$＜2k，即可判断出结论．
③当$0＜k＜\frac{1}{2}$时，作商，即可得出数列{a_n}的单调性．
④当$\frac{k}{1-k}$为正整数时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$=1，当k=$\frac{n}{n+1}$时，因此数列{a_n}必有两项相等的最大项．

解答解：①当$k=\frac{1}{2}$时，a_n=n$•（\frac{1}{2}）^{n}$，则a_n-a_n+1═n$•（\frac{1}{2}）^{n}$-（n+1）$•（\frac{1}{2}）^{n+1}$=$\frac{n-1}{2}$$（\frac{1}{2}）^{n}$≥0，n=1时取等号，因此数列{a_n}不是递减数列，不正确；
②当$\frac{1}{2}＜k＜1$时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$，∵$\frac{1}{2}＜k$＜$\frac{（n+1）k}{n}$＜1+$\frac{1}{n}$＜2k，∴因此数列{a_n}一定有最大项，不正确；
③当$0＜k＜\frac{1}{2}$时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$$＜\frac{n+1}{2n}$≤1，∴a_n＞a_n+1，因此数列{a_n}是递减数列，正确；
④当$\frac{k}{1-k}$为正整数时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$=1，当k=$\frac{n}{n+1}$时，∴数列{a_n}必有两项相等的最大项，正确．
综上可得：只有③④正确．
故答案为：③④．