Question

1．已知函数$f（x）=\frac{sinπx}{{（{x^2}+1）（{x^2}-2x+2）}}$，x∈R．
（Ⅰ）请判断方程f（x）=0在区间[-2017，2017]上的根的个数，并说明理由；
（Ⅱ）判断f（x）的图象是否具有对称轴，如果有请写出一个对称轴方程，若不具有对称性，请说明理由；
（Ⅲ）求证：$\sum_{i=2}^n{\frac{{f（\frac{2i-1}{2}）}}{{sin\frac{2i-1}{2}π}}}＜\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 （I）令f（x）=0，解出f（x）的零点即可．
（II）根据正弦函数的对称性猜想f（x）的对称轴，再进行验证即可；
（III）使用裂项法和放缩法化简．

解答 解：（I）令f（x）=0得sinπx=0，
∴πx=kπ，即x=k，k∈Z．
∵区间[-2017，2017]上共有2017×2+1=4035个整数，
∴f（x）=0在[-2017，2017]上具有4035个根．
（II）f（x）具有对称性．
猜想f（x）的对称轴是直线$x=\frac{1}{2}$，
∵$f（1-x）=\frac{sin（π-πx）}{{[{{（x-1）}^2}+1]（{x^2}+1）}}=f（x）$猜想成立．
∴f（x）存在对称轴$x=\frac{1}{2}$．
（III）$\frac{{f（\frac{2n-1}{2}）}}{{sin\frac{2n-1}{2}π}}=\frac{1}{{（\frac{{{{（2n-1）}^2}}}{4}+1）（\frac{{{{（2n-3）}^2}}}{4}+1）}}（n≥2）$=$[{\frac{1}{{\frac{{{{（2n-3）}^2}}}{4}+1}}-\frac{1}{{\frac{{{{（2n-1）}^2}}}{4}+1}}}]•\frac{1}{2n-2}$$≤\frac{1}{2}[{\frac{1}{{\frac{{{{（2n-3）}^2}}}{4}+1}}-\frac{1}{{\frac{{{{（2n-1）}^2}}}{4}+1}}}]$．
∴$\sum_{i=2}^n{\frac{{f（\frac{2i-1}{2}）}}{{sin\frac{2i-1}{2}π}}}＜\frac{1}{2}（{\frac{4}{5}-\frac{4}{13}+\frac{4}{13}-\frac{4}{29}+…+\frac{4}{{{{（2n-3）}^2}+4}}-\frac{4}{{{{（2n-1）}^2}+4}}}）$=$\frac{2}{5}-\frac{2}{{{{（2n-1）}^2}+4}}＜\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了函数的零点计算，函数的对称性，不等式证明，属于中档题．