Question

已知数列和满足：，，，
其中为实数，.
⑴ 对任意实数，证明数列不是等比数列；
⑵ 证明：当，数列是等比数列；
⑶设为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？
若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

⑴证明略⑵证明略⑶存在实数，使得对任意正整数，都有，的取值范围为.

⑴证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，
即矛盾.
所以不是等比数列.
⑵ 解：因为


又，所以，当时，
由上可知，
此时是以为首项，为公比的等比数列.
⑶当时，由⑵得 ，于是
，
当时，，从而上式仍成立.要使对任意正整数n , 都有.即
令，则
当n为正奇数时，；当n为正偶数时，.
的最大值为于是可得 .
综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有，的取值范围为.