Question

8．下列四个命题：①α∈（0，$\frac{π}{2}$）时，sinα+cosα＞1；②α∈（$\frac{π}{2}$，π）时，若sinα+cosα＜0，则|cosα|＞|sinα|；③对任意的向量，必有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|；④若$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，正确的序号为①②③．

Answer 1

分析 ①根据公式sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α$+\frac{π}{4}$），根据正弦函数图象，求出函数值域；
②由α的范围0＜sinα＜-cosα，都是正数，可直接得出绝对值不等式；
③对任意的向量，分别对向量分类讨论，得出结论；
④根据数量积的定义可判断．

解答 解：①α∈（0，$\frac{π}{2}$）时，
sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α$+\frac{π}{4}$），α$+\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴$\sqrt{2}$sin（α$+\frac{π}{4}$）＞1，故正确；
②α∈（$\frac{π}{2}$，π）时，
sinα＞0，cosα＜0，
∵0＜sinα＜-cosα，
∴|-cosα|＞|sinα|，故正确；
③对任意的向量，
当其中有零向量时或同向时，等号成立，当反向或不共线时，根据三角形两边之和大于第三边可知必有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，故正确；
④若$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，根据数量积的定义可知错误．
故答案为①②③．

点评 考查了同角的正弦，余弦的求和问题，向量模长问题和数量积问题．