Question

13．设函数f（x）=x²-1，对任意x∈[$\frac{3}{2}$，+∞），f（$\frac{x}{m}$）-4m²f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• B． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• C． （0，$\frac{3}{2}$]
• D． （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 运用参数分离，依据题意得$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1在x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）上恒成立，通过导数，判断单调性，求出函数g（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1的最小值，即可求出m的取值范围．

解答 解：依据题意得$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-1-4m²（x-1）≤（x-1）²-1+4（m²-1）在x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）上恒成立，
即$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1在x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）上恒成立．
令g（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1，g′（x）=$\frac{6}{{x}^{3}}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∵x∈[$\frac{3}{2}$，+∞），
∴g′（x）＞0，g（x）递增，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，函数g（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1取得最小值-$\frac{5}{3}$，
所以$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{5}{3}$，
即（3m²+1）（4m²-3）≥0，
解得m≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或m≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：D．

点评 本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．