Question

18．某医药公司经销某种品牌药品，每件药品的成本为6元，预计当每件药品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为$\frac{48}{x-5}$万件，并且全年该药品需支付2x万元的宜传及管理费．
（1）求该医药公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件药品的售价多少元时，该公司一年的利润L最大，并求出L的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出每件产品的利润，乘以价格，减去全年该药品需支付2x万元的宜传及管理费，得到利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）求出利润函数的导函数，分类讨论原函数在[9，11]上的单调性，即可得出利润函数的最值．

解答 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为L=（x-6）×$\frac{48}{x-5}$-2x，x∈[9，11]…（6分）
（Ⅱ）L'=$\frac{48}{（x-5）^{2}}$-2，令L'=0，得x=5+2$\sqrt{6}$或x=5-2$\sqrt{6}$（不合题意，舍去）．…（8分）
当x∈[9，5+2$\sqrt{6}$]时，L'＞0，L单调递增；当x∈[5+2$\sqrt{6}$，11]时，L'＜0，L单调递减…（10分）
于是：当每件产品的售价x=5+2$\sqrt{6}$时，该分公司一年的利润最大，且最大利润L_max=38-8$\sqrt{6}$万元…（12分）

点评 本题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，是中档题．