Question

（本小题满分14分）
如图5所示，在三棱锥中，，平面平面，于点， ，，．

（1）证明△为直角三角形；
（2）求直线与平面所成角的正弦值

Answer 1

（1）证明1：因为平面平面，平面平面， 平面，，
所以平面．
记边上的中点为，在△中，，所以．
因为，，所以．

因为，所以△为直角三角形．
因为，，
所以．
连接，在△中，因为，，
所以．
因为平面，平面，所以．
在△中，因为，，
所以．
在中，因为，，，
所以．
所以为直角三角形．
证明2：因为平面平面，平面平面， 平面，，
所以平面．
记边上的中点为，在△中，因为，所以．
因为，，所以．
连接，在△中，因为，，，
所以．
在△中，因为，，，
所以，所以．
因为平面，平面，
所以．
因为，所以平面．
因为平面，所以．
所以为直角三角形．
（2）解法1：过点作平面的垂线，垂足为，连，
则为直线与平面所成的角．
由（1）知，△的面积．
因为，所以．
由（1）知为直角三角形，，，
所以△的面积．
因为三棱锥与三棱锥的体积相等，即，
即，所以．
在△中，因为，，
所以．
因为．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
解法2：过点作，设，

则与平面所成的角等于与平面所成的角．
由（1）知，，且，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
过点作于点，连接，
则平面．
所以为直线与平面所成的角．
在△中，因为，，
所以．
因为，所以，即，所以．
由（1）知，，且，
所以．
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
解法3：延长至点，使得，连接、，
在△中，，

所以，即．
在△中，因为，，，
所以，
所以．
因为，
所以平面．
过点作于点，
因为平面，
所以．
因为，
所以平面．
所以为直线与平面所成的角．
由（1）知，，
所以．
在△中，点、分别为边、的中点，
所以．
在△中，，，，
所以，即．
因为．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
解法4：以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，
  
则，，，．
于是，，．
设平面的法向量为，
则
即
取，则，．
所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：

（1）以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，．
于是，．
因为，
所以．
所以．
所以为直角三角形．
（2）由（1）可得，．
于是，，．
设平面的法向量为，
则即
取，则，．
所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．

略