Question

（本小题满分15分）（文）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，BAD=，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.

（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ） 求CD与平面ADMN所成角的余弦

Answer 1

 
解：方法一：
（Ⅰ）因为N是PB的中点，PA=AB，
所以AN⊥PB。
因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，
从而PB⊥平面ADMN，
因为DM平面ADMN，
所以PB⊥DM。
（Ⅱ）取AD的中点G，连结BG、NG，
则BG//CD，
所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN
所成的角相等。
因为PB⊥平面ADMN，
所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角。
在Rt△BGN中，
sin∠BGN==。
故CD与平面ADMN所成的角是arcsin。
方法二：

如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，设BC=1，则
A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1，，1），D（0，2，0）。
（Ⅰ）  因为

=0，所以PB⊥DM。
（Ⅱ）   因为  =0，
所以PB⊥AD，
又因为PB⊥DM，
所以PB⊥平面ADMN。
因此的余角即是CD与平面ADMN所成的角
因为
  = ，
所以CD与平面ADMN所成的角为arcsin.

略