Question

11．已知曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）
（1）将C的参数方程化为普通方程；
（2）在直角坐标系xOy中，P（0，2），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ+2$\sqrt{3}$=0，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）消去参数，将C的参数方程化为普通方程；
（2）将直线l 的方程化为普通方程为x+$\sqrt{3}$y+2$\sqrt{3}$=0．设Q（$\sqrt{3}$cosα，sinα），则M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα，1+$\frac{1}{2}$sinα），利用点到直线的距离公式，即可求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．

解答 解：（1）消去参数得，曲线C的普通方程得$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．  …（5分）
（2）将直线l 的方程化为普通方程为x+$\sqrt{3}$y+2$\sqrt{3}$=0．
设Q（$\sqrt{3}$cosα，sinα），则M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα，1+$\frac{1}{2}$sinα），
∴d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}cosα+\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα+2\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{|\frac{\sqrt{6}}{2}sin（α+\frac{π}{4}）+3\sqrt{3}|}{2}$，
∴最小值是$\frac{6\sqrt{3}-\sqrt{6}}{4}$．…（10分）

点评 本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．