Question

9．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x（1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$），则（　　）

• A． f（-3）$＜f（2）＜f（\frac{5}{2}）$
• B． f（$\frac{5}{2}$）＜f（-3）＜f（2）
• C． f（2）$＜f（-3）＜f（\frac{5}{2}）$
• D． f（2）$＜f（\frac{5}{2}）＜f（-3）$

Answer 1

分析 根据条件判断函数的周期性，奇偶性以及单调性，利用函数奇偶性和周期性和单调性之间的关系进行转化求解即可．

解答 解：∵f（x-1）=f（x+1），
∴f（x）=f（x+2），
即函数的周期是2，
当x∈[-1，1]时，f（x）=x（1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$）=x•$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$，
则f（-x）=-x•$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$=-x•$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$=x•$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=f（x），
则函数f（x）为增函数，
当0≤x＜1时，函数y=x为增函数，y=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$也为增函数，
则函数f（x）=x（1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$）=x•$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$在0≤x＜1为增函数，
则f（$\frac{5}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$-2）=f（$\frac{1}{2}$），
f（-3）=f（-3+2）=f（-1）=f（1），
f（2）=f（0），
则f（0）＜f（$\frac{1}{2}$）＜f（1），
即f（2）$＜f（\frac{5}{2}）＜f（-3）$，
故选：D．

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的周期性，奇偶性以及单调性是解决本题的关键．