Question

【题目】已知函数是上的奇函数.

（1）求实数的值；

（2）若，则不等式在上有解，求实数的取值范围；

（3）若且在上的最小值为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由题意得出，求出的值，然后再利用奇函数的定义验证函数为奇函数即可；

（2）由可得出，分析出函数在上为增函数，再由为奇函数，由得出关于的不等式在上有解，可得出，即可求出实数的取值范围；

（3）由且，可得出，可得出，换元，可得出，然后对分和，分析二次函数在区间上的单调性，结合题中条件可求出实数的值.

（1）函数是上的奇函数，，，

当时，，定义域为，关于原点对称，

且，此时函数为奇函数，因此，；

（2）由（1）可知，又，，解得.

则函数在上为增函数，函数在上为减函数，

函数在上是增函数且为奇函数，

由，得在上有解，

在上有解，即在上有解，

，解得或.

因此，实数的取值范围是；

（3），即，且，解得.

，令，又，则.

，.

则，令，

二次函数图象的对称轴为直线.

①当时，函数在为增函数，，即不合乎题意；

②当时，在为增函数，在为减函数，

，满足.

综上所述，.